第六章 量子魔术和量子神秘 

　 
  
哲学家需要量子理论吗？ 
  
　 
  
　　在经典物理中，存在一个“外面的”客观世界，这一点是和常识相符合的。那个世 
界以一种清晰的、决定性的方式演化着，并受到被精确表达的数学方程的制约。这一点 
对于马克斯韦以及爱因斯坦理论，正如对原先的牛顿理论一样都是正确的。物理世界被 
认为独立于我们而存在的；经典世界究竟“是”什么样子不受我们选择去观察它的方法 
的影响，而且我们的身体和大脑本身也是那个世界的一部分。它们也被认为是按照同等 
精密和确定的经典方程演化的。不管我们如何觉得我们清醒的意愿在影响着我们的行为 
，我们的一切行动都被这些方程所决定。 
  
　　大多数关于实在的性质、我们清醒的知觉以及表观上的自由意志的严肃的1哲学论证 
的背景都具有一幅这样的图像。一些人也许会对量子理论--这一事物的基本的、却是使 
人困扰的理论--也起作用感到不舒服。量子理论是在本世纪最初的二十五年由于观察到 
世界的实际行为和经典物理的描述之间的微妙偏差而产生的。对许多人来说，“量子理 
论”这一术语仅仅是唤起某种“不确定性原理”的模糊概念。该原理禁止我们在粒子、 
原子或分子的水平上对之进行精确的描述，所能得到的只是随机的行为。实际上，我们 
将会发现，尽管量子描述和经典物理彻底不同，它却是非常精确的。此外，我们还将看 
到，尽管一般的观点与它正相反，在粒子、原子和分子的微小的量子水平上不出现随机 
性--它们决定性地进行演化--概率似乎是通过某种大尺度的、神秘的、和我们能意识感 
觉的经典世界的呈现相关联的作用而产生的。我们必须理解量子理论如何迫使我们改变 
物理实在的观点。 
  
　　人们会以为量子和经典理论之间的偏差非常微小，但事实上它们同时又是许多常观 
物理现象的基础。固态物体之所以存在、物质的强度和物性、化学的性质、物质的颜色 
、凝固和沸腾现象、遗传的可能性、还有许多其他熟知的性质需要量子力学才能解释。 
也许还有意识，它是某种不能由纯粹经典理论来解释的现象。我们的精神也许是来源于 
那些在实际上制约我们居住的世界的物理定律的某种奇怪的美妙特征的性质，而不仅仅 
是赋予称之为经典的物理结构的“客体”的某种算法的特征。在某种意义上，这也许就 
是“为什么”尽管经典宇宙已经是如此地丰富和神秘，作为有情感的生物，我们必须在 
量子世界、而不是在完全经典的世界中生活。为了诸如我们这样的思维的知觉的生物可 
由世界物质构成，是否需要一个量子世界？诸如这样的问题似乎更适合于让一心建造一 
个可供人居住的宇宙的上帝，而不是我们去解答！但是这个问题和我们也有关系。如果 
意识不可能是经典世界的一部份，那么我们的精神必须以某种方式依赖于对经典物理的 
特殊的偏离。这就是我在本书中还要考虑的问题。 
  
　　如果我们要深入钻研一些哲学的主要问题：我们世界如何行为，以及由什么构成“ 
精神”也就是“我们”，则我们的确必须屈服于量子理论，这个最精确也最神秘的物理 
理论。有朝一日科学将会给我们提供比量子理论更好的对自然的更深刻的理解。我个人 
的看法是，甚至量子理论也只是权宜之计，肯定不足以作为我们实际生活其中的世界的 
完整图画。但这不可作为我们的借口；如果我们想得到某些我们需要的具有哲学洞察力 
的东西，我们就必须按照已有的量子理论去理解世界图像。 
  
　　不幸的是，不同的理论家对什么是这个图像的实在持不同（尽管在观察上等效）的 
观点。以中心人物尼尔斯·玻尔为首的许多物理学家说根本就没有客观的图像。在量子 
水平上，“外界”没有什么东西。实在多多少少只是在和“测量”结果的关系上才呈现 
。按照这种观点，量子理论仅仅提供了计算步骤，而不想对世界的实际进行描述。我认 
为，这种对理论的看法是过于悲观了，而我采用更正面的看法，对量子描述赋予客观的 
物理实在：量子态。 
  
　　存在一个非常精确的方程，即薛定谔方程，它为量子态提供了完全决定性的时间演 
化。但是在随时间演化的量子态和被看到物理世界发生的实际行为之间存在一种非常古 
怪的东西。只要我们认定“发生”了测量，我们就必须抛弃我们直到该时刻止辛辛苦苦 
演化来的物理态，而用它来计算该态会“跃迁”到一族新的可能的态去的不同的几率。 
除了这个量子跃迁的怪异之外，对于物理形态还存在什么是裁决“测量”实际上已经进 
行了的问题。测量装置本身毕竟假定是由量子元件建造的，所以也要按照决定性的薛定 
谔方程演化。“测量”的实际发生是否必须伴随有意识的存在？我想量子理论家中只有 
少数人会采取这种观点。大概人类的观察者自身也是由微小的量子元件所组成的吧！ 
  
　　我们将在本章的后面考察量子态“跃迁”的某些奇怪推论--例如，为什么在一处的 
“测量”似乎会在遥远的区域引起一个跃迁！在这之前，我们还将碰到其他的怪现象： 
有时一个物体可以分别非常好地通过两个不同的途径。但是一旦同时允许通过两条途径 
它们就会互相抵消，使得任何一条也通不过！我们还将仔细地考察实际上量子态是如何 
描述的。我们会看到这种描述和相应的经典描述差别有多大。例如，粒子会一下子在两 
处出现！当一起考虑几个粒子时，我们会看到量子描述是多么复杂。人们会发现，个别 
粒子本身并没有单独的描述，而必须考虑所有它们在一道的不同形态的复杂叠加。我们 
会看到为什么同一类的不同粒子不能有各自的本体。我们将仔细地考察自旋的（基本是 
量子力学的）古怪性质。我们还将考虑由令人困惑的“薛定谔猫”的理想实验所引发的 
重要问题，以及理论家们提出的试图解决这个基本迷惑的各种不同看法。 
  
　　本章中的一些材料并不像前面（或后面）章节那么明白易解，有时又有点过于技术 
性。在描述中我尽量做到诚实，这样我们必须更勤勉一些。其目的在于真正理解量子世 
界。在论证的不甚清楚之处，我建议你要坚持下去，以期对整个结构有点印象。如果无 
法完全理解也不必沮丧；它是这个学科本身的性质！ 
  
经典理论的问题 
  
　 
  
　　我们何以得知经典物理不能真正描述我们的世界呢？主要的原因来自实验。量子理 
论不是理论家们加在我们身上的预言，大多数理论家是无可奈何地被赶到这一个在哲学 
的许多方面不满意的、奇怪的世界观上去。其根本的原因在于两种物理现象必须共存： 
粒子，每一粒子只由很少的有限数目（六）的参数（三个位置和三个动量）来描述；还 
有场，它需要无限多的参数来描述。这种二分法在物理上不是真正协调的。在粒子和场 
处于平衡（亦即“完全安置好”）的系统中，所有粒子的能量都会被场抽取走。这即是 
所谓的“能量均分”现象的结果：系统处于平衡时，能量被公平地分布在所有的自由度 
上。由于场具有无限多自由度，所以根本就没有给可怜的粒子留下任何能量！ 
  
　　尤其是，经典原子不能是稳定的，粒子的所有运动都转移到场的波动模式中去。让 
我们回顾一下伟大的纽西兰/英国实验物理学家恩斯特·卢瑟福在1911年引进的原子太阳 
系模型。公转的电子处于行星的地位，中心的太阳为原子核所取代，它们在很微小的尺 
度上由电磁力而不是引力绑在一起。一个基本的、并且似乎是不可逾越的问题是，当一 
个公转电子绕着核子时，按照马克斯韦理论应发射出电磁波，其强度在比一秒钟短得非 
常多的时间间隔里迅速地增强到无穷，同时它以螺线形的轨道向内撞到核上去！然而， 
人们从未观测到过这类事。在经典理论的基础上理解所观察到的结果是非常困难的。原 
子会发射出电磁波（光），但是只能以突发的形式，它具有非常特别的分立频率，这就 
是被观察到的狭窄的光谱线（图6.1）。而且这些频率满足“莫名其妙”的规则2，这从 
经典理论观点看来毫无根据。 
  
　 
  
　　另一种场和粒子不能共存的不稳定性的呈现是称为“黑体辐射”的现象。想象具有 
某个确定温度的物体，电磁辐射和粒子处于平衡状态。1900年，瑞利和琼斯计算出，所 
有能量都会被场吸收光--没有极限！此处发生了物理上荒谬的事情（“紫外灾难”：能 
量不断地跑到场中去，跑到越来越高的没有上限的频率上去），而自然本身却更谨慎。 
在场振动的低频处，能量正如瑞利和琼斯所预言的那样。但是在预言到灾难的高端，实 
际观察显示，能量分布并没有无限增加，而是随着频率增加而下落。在给定的温度下， 
能量的最大值发生在非常特别的频率（也即颜色）处（见图6.2）。（火钳的红颜色和太 
阳的黄--白热实际上是两个人们所熟知的例子。） 
  
  
  
　 
  
量子理论的开端 
  
　 
  
　　这些迷惑如何得到解决呢？牛顿原先的粒子理论肯定需要马克斯韦场来补充。人们 
是否可以走到另一极端，假定任何东西都是场，而粒子只是某种场的有限尺度的“结” 
？这本身也有困难，因为这样的话，粒子可连续地改变它们的形状，可以用无限多不同 
的方式蠕动和振动。而所有这些我们都没看到。物理世界中的所有种类的粒子都显得是 
等同的。例如，两个电子完全是相互一样的。甚至原子和分子只能采用分立的不同的形 
态3。如果粒子是场的话，那么需要一些新的因素去使场采取分立的特征。 
  
　　1900年，才气横溢的、但又是保守谨慎的德国物理学家马克斯·普郎克提出了一个 
革命性的思想用以压制“黑体”的高频率的模式：电磁振动只能以“量子”的形式发生 
，量子的能量E和频率v之间有一确定的关系 
  
　　E=hv， 
  
　　h为一自然的基本常数，现在被称作普郎克常数。令人叹为观止的是，普郎克利用这 
个荒谬绝伦（无法无天）的因素，能够在理论上得到和观察一致的作为频率函数的强度 
，这就是现在所谓的普郎克辐射定律。（按日常标准来看，普郎克常数是非常小的，大 
约为6.6×10-34焦耳秒。）普郎克凭此壮举揭示了量子理论光临的曙光。尽管在爱因斯 
坦提出另一个使人惊愕不已的设想，即电磁场只能以这种分立的单位存在之前，普郎克 
理论并没有引起多大注意。我们记得，马克斯韦和赫芝指出了光是由电磁场的振荡所组 
成的。这样一来，按照爱因斯坦--以及牛顿在两个多世纪以前所坚持的--光本身实际上 
应为粒子！（在十九世纪初叶，卓越的英国理论家兼实验家托马斯·杨显明地建立了光 
为波动的事实。） 
  
　　光如何由粒子又同时由场振荡所组成的呢？这两个概念的矛盾似乎是不可调和的。 
某些实验事实很清楚地显示光是粒子，而另一些事实则指出光为波动。1923年，法国贵 
族及富有洞察力的物理学家路易·德布罗依王子在他的博士论文中（该论文是爱因斯坦 
认可的！）使这个粒子--波动的图像更加混淆，他提出物体的粒子本身有时应像波动那 
样行为！任何质量为m的粒子的德布罗依波频率v也满足普郎克关系式。这与爱因斯坦的E 
=mc2相结合，即告诉我们v和m之间的关系是 
  
　　hV=E=mc2。 
  
　　这样，按照德布罗依的设想，自然不遵循作为经典理论特征的粒子和场的二分法！ 
事实上，任何以某频率v振荡的东西都只能以分立的单位质量hv/c2发生。自然以某种方 
式设计建造一个协调的世界，在其中粒子和场振动被认为是同一东西！或者，在她的世 
界中包含某种更微妙的要素，而“粒子”和“波动”两词汇只不过传达了它部分的合适 
的图像。 
  
　　1913年，丹麦物理学家及二十世纪主要科学思想家尼尔斯·玻尔再次极其漂亮地利 
用了普郎克关系。一个绕核公转的电子角动量（参阅190页） 
  
　 
  
　　这样，绕着任何轴的角动量的可允许值为 
  
  
  
　　原子的“太阳系模型”在加上这个新的要素后，就得到了在相当的准确度上，自然 
实际服从的许多分立的稳定的能量级和谱频率的“怪异的”规则。 
  
玻尔漂亮的设想虽然极其成功，却只是提供了称之为“旧量子论”的某种临时的“凑合 
物”的理论。我们今天所知道的量子理论是由后来的两套独立的方案所产生的。它们由 
一对杰出的物理学家所开创的：一位是德国的威尔纳·海森堡，另一位是奥地利的厄文 
·薛定谔。这两种方案（分别为1925年的“矩阵力学”和1926年的“波动力学”）在初 
始时显得完全不同，但是很快发现它们是等同的，并且很快就被包摄到一个更合理、更 
一般的框架中去。这个框架是在不久之后首先由英国伟大的理论物理学家保罗·阿得林 
·毛里斯·狄拉克提出。我们将在以下几节了解该理论的概要以及它的非同寻常的含义 
。 
  
　 
  
双缝实验 
  
　 
  
　　让我们考虑这一“原型的”量子力学实验。一束电子或光或其他种类的“粒子--波 
”通过双窄缝射到后面的屏幕去（图6.3）。为了确定起见，我们用光做实验。按照通常 
的命名法，光量子称为“光子”。光作为粒子（亦即光子）的呈现最清楚地发生在屏幕 
上。光以分立的定域性的能量单位到达那里，这能量按照普郎克公式E=hv恒定地和频率 
相关。从未接收过“半个”（或任何部分，光子的能量。光接收是以光子单位的完全有 
或完全没有的现象。只有整数个光子才被观察到。 
  
　 
  
　　然而，光子通过缝隙时似乎产生了类波动的行为。先假定只有一条缝是开的（另一 
条缝被堵住）。光通过该缝后就被散开来，这是被称作光衍射的波动传播的一个特征。 
但是，这些对于粒子的图像仍是成立的。可以想象缝隙的边缘附近的某种影响使光子随 
机地偏折到两边去。当相当强的光也就是大量的光子通过缝隙时，屏幕上的照度显得非 
常均匀。但是如果降低光强度，则人们可断定，其亮度分布的确是由单独的斑点组成-- 
和粒子图像相一致--是单独的光子打到屏幕上。亮度光滑的表观是由于大量的光子参与 
的统计效应（见图6.4）。（为了比较起见，一个60瓦的电灯泡每一秒钟大约发射出1000 
00000000000000000个光子！）光子在通过狭缝时的确被随机地弯折--弯折角不同则概率 
不同，就这样地得到了所观察到的亮度分布。 
  
　 
  
　　然而，当我们打开另一条缝隙时就出现了粒子图像的关键问题！假设光是来自于一 
个黄色的钠灯，这样它基本上具有纯粹的非混合的颜色--用技术上的术语称为单色的， 
也即具有确定的波长或频率。在粒子图像中，这表明所有光子具有同样的能量。此处波 
长约为5×10-7米。假定缝隙的宽度约为0.001毫米，而且两缝相距0.15毫米左右，屏幕 
大概在一米那么远。在相当强的光源照射下，我们仍然得到了规则的亮度模式。但是现 
在我们在屏幕中心附近可看到大约三毫米宽的称为干涉模式的条纹的波动形状（图6.5） 
。我们也许会期望第二个缝隙的打开会简单地把屏幕的光强加倍。如果我们考虑总的照 
度，这是对的。但是现在强度的模式的细节和单缝时完全不同。屏幕上的一些点--也就 
是模式在该处最亮处--照度为以前的四倍，而不仅仅是二倍。在另外的一些点--也就是 
模式在该处最暗处--光强为零。强度为零的点给粒子图像带来了最大的困惑。这些点是 
只有一条缝打开时粒子非常乐意来的地方。现在我们打开了另一条缝，忽然发现不知怎 
么搞的光子被防止跑到那里去。我们让光子通过另一条途径时，怎么会在实际上变成它 
在任何一条途径都通不过呢？ 
  
　 
  
　　在光子的情形下，如果我们取它的波长作为其“尺度”的度量，则第二条缝离开第 
一条缝大约有300倍“光子尺度”那么远（每一条缝大约有两个波长宽）（见图6.6）， 
这样当光子通过一条缝时，它怎么会知道另一条缝是否被打开呢？事实上，对于“对消 
”或者“加强”现象的发生，两条缝之间的距离在原则上没有受到什么限制。 
  
　　当光通过缝隙时，它似乎像波动而不像粒子那样行为！这种抵消--对消干涉--是波 
动的一个众所周知的性质。如来两条路径的每一条分别都可让光通过，而现在两条同时 
都开放，则它们完全可能会相互抵消。我在图6.7中解释了何以致此。如果从一条缝隙来 
的一部分光和从另一条缝隙来的“同相”（也就是两个部分波的波峰同时发生，波谷也 
同时发生），则它们将互相加强。但是如果它们刚好“反相”（也就是一个部分波的波 
峰重叠到另一部分的波谷上），则它们将互相抵消。在双缝实验中，只要屏幕上到两缝 
隙的距离之差为波长的整数倍的地方，则波峰和波峰则分别在一起发生，因而是亮的。 
如果距离差刚好是这些值的中间，则波峰就重叠到波谷上去，该处就是暗的。 
  
　 
  
　 
  
　 
  
　　关于通常宏观的经典波动同时以这种方式通过两个缝隙没有任何困惑之处。波动毕 
竟只是某种媒质（场）或者某种包含有无数很小点状粒子的物体的一种“扰动”。扰动 
可以一部分通过一条缝隙，另一部分通过另一条缝隙。但是这里的情况非常不同；每一 
个单独光子自身是完整的波动！在某种意义上讲，每个粒子一下通过两条缝隙并且和自 
身干涉！人们可将光强降得足够低使得保证任一时刻不会有多于一个光子通过缝隙的附 
近。对消干涉现象，因之使得两个不同途径的光子互相抵消其实现的可能性，是加在单 
独光子之上的某种东西。如果两个途径之中只有一个开放，则光子就通过那个途径。但 
是如果两者都开放，则两种可能性奇迹般地互相抵消，而发现光子不能通过任一条缝隙 
！ 
  
　　读者应该深入思考一下这一个非同寻常事实的重要性。光的确不是有时像粒子有时 
像波那样行为。每一个单独粒子自身完全地以类波动方式行为；一个粒子可得到的不同 
选择的可能性有时会完全相互抵消！ 
  
　　光子是否在实际上分成了两半并各自穿过一条缝隙呢？大多数物理学对这样的描述 
事物的方式持否定态度。他们坚持说，两条途径为粒子开放时，它们都对最后的效应有 
贡献。它们只是二中择一的途径，不应该认为粒子为了通过缝隙而被分成两半。我们可 
以考虑修正一下实验，把一个粒子探测器放在其中的一条缝隙，用来支持粒子不能分成 
两部分再分别通过两缝隙的观点。由于用它观测时，光子或任何其他种类的粒子总是作 
为单独整体而不是整体的一部分而出现，我们的探测器不是探测到整个光子，就是根本 
什么也没探测到。然而，当把探测器放在其中的一条缝隙处，使得观察者能说出光子是 
从哪一条缝隙通过时，屏幕上的波浪状的干涉花样就消失了。为了使干涉发生，显然必 
须对粒子“实际上”通过那一条缝隙“缺乏知识”。 
  
　　为了得到干涉，两个不同选择都必须有贡献，有时“相加”--正如人们预料的那样 
相互加强到两倍--有时“相减”--这样两者会神秘地相互“抵消”掉。事实上，按照量 
子力学的规则，所发生的事比这些还更神秘！两种选择的确可以相加（屏幕上最亮的点 
），两者也的确可以相减（暗点）；但它们实际上也会以另外奇怪的组合形式结合在一 
起，例如 
  
　　“选择A”加上i乘以“选择B”， 
  
　　度的地方）。事实上任何复数都能在“不同选择的组合”中起作用！ 
  
　　读者可能会记得在第三章时我的复数对于“量子力学的结构是绝对基本的”警告。 
这些数绝不仅仅是数学的精巧。它们通过令人信服的、使人意外的实验事实来迫使物理 
学家注意。我们必须接受复数权重才能理解量子力学。现在我们接着考虑它的推论。 
  
　 
  
概率幅度 
  
　 
  
　　在上面的描述中利用光子并无任何特别之处。这里可以同样好地利用电子或任何其 
他种类的粒子或者甚至原子。量子力学的规则坚持，甚至连棒球和大象都应以这种古怪 
的方式行为，不同选择的可能性可用复数的组合“相加起来”！然而，我们从未在实际 
中看到棒球或大象这种奇怪方式的叠加。为什么我们没有见到呢？这是一个困难的富有 
争议的问题，我现在还不想去对付之。作为工作规则，现在让我们简单地假设物理描述 
有两种不同可能的水平，我们将其称为量子和经典水平。我们只在量子水平上利用这些 
古怪的复数组合。棒球和大象是经典水平上的对象。 
  
　　量子水平就是分子、原子和次原子粒子的水平。这通常被认为是非常“小尺度”现 
象的水平，但是这个“小”实际上并非是指物理尺度。我们将会看到量子效应能在许多 
米甚至一光年的距离上发生。如果认为只牵涉到非常小的能量差，这才有点接近于认为 
某种东西是“处于量子水平上”的特征。（以后我将尽力弄得更精确些，尤其是在第八 
章的424页）。经典水平就是我们直接了解的“宏观”水平。在这水平上，我们的“事物 
”发生的通常图像是正确的，并且可以使用通常的概率观念。我们将看到在量子水平上 
，我们必须使用的复数和经典概率有紧密的关系。它们并不真正相同，但是为对付这些 
复数，先回顾一下经典概率的行为是有益的。 
  
　　考虑一个不确定的经典情形，两种选择之中我们不知哪一种会发生。可将这种情形 
描述作这些选择的“加权”组合： 
  
　　p×“选择A”加上q×“选择B” 
  
　　此处p为A发生的概率，而q是B发生的概率。（要记住，概率是在0和1之间的实数。 
概率1表明“一定发生”，而概率0表明“一定不发生”。概率1/2表明“发生和不发生是 
同等可能的”。）如果A和B是仅有的不同选择，则两者概率的和必须是1： 
  
　　P+q=1。 
  
　　然而如果还有其他选择，则此和可以比1小。那么，比率p∶q就给出了发生A和发生B 
的概率的比率。在只有两种选择时，发生A和发生B的实际概率分别为p/（p+q）和q/（p+ 
q）。如果p+q比1大，我们还可以这样地解释。（这可能是有用的，例如，只要我们进行 
了多次的实验，p为发生A的次数，q为发生B的次数。）如果p+q=1，我们就说p和q是归一 
化的，这样它们就给出了实际的概率，而不仅仅是概率的比率。 
  
　　在量子力学中我们将做一些显得与此非常相似的事，现在P和q变成为复数--我将使 
用w和z分别表示之 
　　w×“选择A”加以z×“选择B” 
　　我们如何解释w和z呢？由于它们会各自独立地变为负数或者复数，它们肯定不是通 
常的概率（或概率比），但是在许多方面很像概率。它们被叫作（适当地归一化之后-- 
见后面）概率幅度，或简单地称作幅度。此外，人们经常用这类暗示概率的术语，如： 
“发生A的幅度为w和发生B的幅度为z”。它们不是实际的概率，但是我们假装它们是� 
;�或宁愿说成概率在量子水平上的相似物。 
通常的概率如何起作用呢？考虑一个宏观对象将有助于理解，譬如说打一个球使之穿过 
两个洞中的一个再到后面的屏幕去--正如上述的双缝实验那样（参见图6.3），但现在我 
们用经典的宏观球取代了前面讨论的光子。从s将球打到上洞的概率为P（s，t），打到 
下洞的概率为P（s，b）。而且，如果我们在屏幕上选取特定的一点p，只要球的确通过t 
，则到此特定的p点的概率为P（t，p），而球通过b到达p的概率为P（b，p）。如果只有 
上面的洞t是开放的，则球通过t到达p的实际概率为将从s到t的概率乘上从t到p的概率： 
　　（s，t）×P（t，p）。 
　　类似地，如果只有下面的洞是开放的，则球从s到p的概率为 
　　P（s，b）×P（b，p）。 
　　如果两个洞都开放的话，则从s通过t到达p的概率仍为第一表达式P（s，t）×P（t 
，p），正如只有t洞开放时那样。而从s通过b到p的概率仍为P（s，b）×P（b，p）。所 
以，从s到p的总概率P（s，p）为两者之和 
　　P（s，p）=P（s，t）×P（t，p）+P（s，b）×P（b，p）。 
　　在量子水平上，除了现在是奇怪的复的幅度起着我们前面的概率的作用外，其规则 
和这一模一样。这样，在上面考虑的双缝实验中，光子从源s到上缝t我们有一幅度A（s 
，t），从上缝到达屏幕上p点有一幅度A（t，p），两者相乘得到从s通过t到达p的幅度 
　　A（s，t）×A（t，p）。 
　　作为概率，假定上缝是开的，不管下缝是否打开，这都是正确的幅度。类似地，假 
定b是开的，则存在光子从s通过b到达p的幅度（不管t是否打开） 
　　A（s，b）×A（b，p）。 
　 
  
　　如果两条缝隙都打开，我们可得到光子从s到p的总幅度 
  
　　A（s，p）=A（s，t）×A（t，p）+A（s，b）×A（b，p）。 
　 
  
　　这一切都非常好。但是，我们在量子效应被放大达到经典水平从而知道如何去解释 
这些幅度之前，它对我们并没有多大用处。我们可把一个光子探测器或光电管放在p处， 
它提供了把量子水平的事件��光子抵达p��放大成经典的可辨别得出的发生 
，例如听得见的“咔啦”一声。（如果屏幕的作用相当于照相底版，使得光子留下可见 
的斑点，那么这也是一样的。但为了清楚起见我们就用光电管好了。）必须存在产生“ 
咔啦”一响的实际的概率，而不仅仅是这些神秘的“幅度”！当我们从量子水平变到经 
典水平时，如何从幅度过渡到概率呢？人们发现这里有一种非常美丽而神秘的规则。 
　 
  
　　其规则是我们必须对量子的复的幅度取平方模以得到经典的概率。什么是“平方模 
”？回忆一下我们在复平面上的复数的描述（第三章101页）。复数z的模|z|简单地就是 
z离开原点（也就是点0）的距离。平方模|z|2即是这个数的平方。这样，如果我们写 
　 
  
　　z=x+iy， 
  
　　这儿x和y都是实数。由于从0到z的连线为直角三角形0，x，z的斜边，从毕达哥拉斯 
定理得知我们所需的平方模是 
　 
  
　　|z|2=x2+y2 
  
　　注意，为了使之成为一个真正的“归一化的”概率，|z|2的值必须在0和1之间。这 
表明对于适当归一化的幅度，在复平面上z必须处于单位圆内的某处（见图6.8）。然而 
，有时我们要考虑组合 
　 
  
　　w×“选择A”+z×“选择B”， 
  
　　此处w和z仅仅是和概率幅度成比例，它们没必要在单位圆内部。它们归一化（并因 
此提供真正的概率幅度）的条件是平方模的和必须为1： 
  
　　丨w丨2+丨z丨2=1。 
  
　 
  
　　如果它们不是归一化的，则A和B的实际幅度应分别为 
  
  
  
　　它们都处于单位圆内部。 
  
　　现在我们看到，概率幅度根本不像真正的概率，而更像概率的“复数平方根”。当 
量子水平上的效应被放大到经典水平上时，这会发生什么影响呢？我们记得，在进行概 
率和幅度运算时，我们有时要将它们相乘，有时将它们相加。第一点值得注意的是，乘 
法运算在从量子过渡到经典规则时没有什么问题。这是因为乘积的模数等于各自模数的 
乘积的这一显著的数学事实 
  
　　丨zw丨2=丨z丨2丨w丨2 
  
　　（这个性质可由第三章的一对复数的乘积的几何描述立即得出；但是若按照实部和 
虚部z=x+iy w=u+iv，这还算是一点奇迹。不妨试一下！） 
  
　　此事实的含义是，如果只有一条通道对粒子开放，也就在双缝实验中只有一条缝隙 
（譬如t）开放，即可以“经典地”论证，不管是否在中间某点（譬如在t）进行附加的 
粒子检测，出来的概率必须是一样的①。我们可以在两个阶段或只在最后取平方模，也 
即 
  
　　丨A(s,t)丨2×丨A(t,p)丨2=丨A(s,t)×A(t,p)丨2， 
  
　　对于最后的概率，其结果都是一样的。 
  
　　然而，如果多于一条通道可让粒子通过（也即如果两条缝隙都开放的话），则我们 
要求和，而量子力学的特征就在这里开始出现。当我们取两个复数w和z的和w+z的平方模 
时，通常不能得到它们各自的平方模的和；还有附加的“修正项”： 
  
　　丨w+z丨2=丨w丨2+丨z丨2+2丨w丨丨z丨cosθ。 
  
　　此处θ为点z和w对复平面原点所张的角（见图6.9）。（我们知道，一个角的余弦是 
一直角三角形的“邻边/斜边”比。不熟悉上式的敏捷读者可用第三章引进的几何去直接 
推导之。实际上，这正是众所周知的“余弦法则”，只不过稍微伪装了一下！）正是修 
正项2|w||z|cosθ提供了量子力学的不同选择间的量子干涉。cosθ的值的范围在-1和1 
之间。我们在θ=0°时有cosθ=1。这时这两种选择相互加强，使得总概率比单独概率之 
和更大。我们在θ=180°时有cosθ=-1，这时这两种选择便相互抵消，使得总概率比单 
独概率之和更小（对消干涉）。我们在θ=90°时有cosθ=0。这时得到了一种中间状态 
，两种概率相加。对于大的或复杂的系统修正项通常被“平均掉了”--因为cosθ的“平 
均”值为零--我们就余下通常的经典概率的规则！但是在量子水平上这些项提供重要的 
干涉效应。 
  
　 
  
　　考虑双缝都打开时的双缝实验。到达p的光子幅度为和w+z，此处 
　　w=A（s，t）×A（t，p）和，z=A（s，b）×A（b，p）。 
　　在屏幕的最亮的点我们有w=z（这样cosθ=1），所以 
  
　　丨w+z丨=丨2w丨2=4丨w丨2 
　　为只有一条缝开放时概率|w|2的四倍��所以当光子数很大时光强变大到四倍 
，这与观察相一致。在屏幕的暗的点我们有w=-z（这样cosθ=-1），所以 
　　丨w+z丨2=丨w-w丨2=0, 
　　也就是零（对消干涉！），又与观察相一致。在刚好中间的点我们有w=iz或w=-iz（ 
这样cosθ=0），所以 
　　丨w+z丨2=丨w±iw丨2=丨w丨2+丨w丨2=2丨w丨2 
  
　　给出只有一条缝的强度的两倍（这是经典粒子的情形）。我们在下一节的结尾处会 
看到如何去实际计算亮、暗和中间的位置。 
  
　　还有最后一点必须加以评论。当双缝都开放时，通过t到达p的粒子的幅度确是w=A（ 
s，t）×A（t，p），但是我们不能将其平方模|w|2当作粒子“实际”通过上面的缝隙而 
到达p的概率。这会导致没有意义的答案，特别是如果p是在屏幕上的暗的地方时。但是 
，如果我们决定“检测”光子是否在t存在，把它在那儿的存在（或不存在）的效应放大 
到经典的水平，则可用|A（s，t）|2作为光子实际到达t的概率。但是这样的检测抹去了 
波浪状的模式。为了使干涉发生，我们必须保证光子在通过缝隙时仍维持在量子水平上 
，以使得两个不同途径能共同有贡献并且有时会互相对消。单独的选择途径只有幅度， 
而没有概率。 
  
粒子的量子态 
  
　 
  
　　这些在量子水平上为我们提供了“物理实在”的什么图像呢？在这里，一个系统的 
不同的“选择可能性”必须一直共存，并且用奇怪的复数权重加在一起。许多物理学家 
本身对是否能找到这样的图像感到绝望。相反地，他们断言，他们喜欢量子力学仅仅为 
我们提供了计算概率的步骤，而不是物理世界的客观图像的观点。有些人断定量子理论 
不可能有客观图像--至少没有一种和物理事实相一致。我认为这样的悲观主义是没有根 
据的。在我们已经讨论到的基础上，采取这种看法无论如何都是不成熟的。我们将在下 
面讨论某些量子效应更令人吃惊的困惑，进而更全面地了解这种绝望的原因。但是，现 
在我们暂且更乐观地前进，并接受量子力学告知我们所必须面临的情景。 
  
　　这就是一种量子态所呈现的图像。我们现在考虑一个单独的量子粒子。一个粒子由 
它的空间位置经典地决定。为了知道它下一步还要做什么，我们还需要知道它的速度（ 
或等效地，它的动量）。在量子力学中，粒子所能到达的每个单独位置都是它所能得到 
的一个“选择”。我们看到所有的选择必须以复数的权重组合在一道。这一复权重的集 
合描述了粒子的量子态。标准的做法是用希腊字母ψ（发“psi”的音）表示权重的集合 
，ψ被认为称作粒子的波函数的位置的复函数。对于每一位置x，波函数都有一用ψ（x 
）表示的特殊的值，它是粒子处于x的幅度。我们可用单独的ψ来表示整个量子态。我所 
采取的观点是，粒子所处位置的物理实在的确是它的量子态ψ。 
  
　　我们如何画出复函数ψ呢？一下子将所有的三维空间都画出是有点困难，所以我们 
先简化一些并假定粒子被限制在一维的线上--譬如说沿着标准（笛卡尔）座标系的x轴上 
。如果ψ是一个实函数，则我们可以想象和x轴垂直的“y轴”并画出ψ的图（图6.10a） 
。但是，为了描述复函数的ψ的值，我们在这儿需要一个“复的y轴”--它必须是一个复 
平面。我们在想象中可以利用空间的两个维：譬如把空间的y方向当作复平面的实轴，z 
方向作为虚轴。我们可以把ψ（x）画成在这个复平面（也即是通过x轴上每位置的（y， 
z）平面）上的一点，这样就可得到一个波函数的精确的图像。这一点随着x的变化而变 
化，而它的轨迹在空间画出一条绕着x轴附近的曲线（见图6.10b）。我们称这条曲线为 
粒子的ψ曲线。如果在一指定点x处放置一台粒子检测器，则在该点找到该粒子的概率可 
由幅度ψ（x）取平方模而得到这正是ψ曲线离开x轴的距离的平方①。 
  
　　丨ψ(x)丨2， 
  
  
  
　　为了画出在所有三维物理空间上波函数的完整的图，五维是必须的：三维是物理空 
间，加上画出ψ（x）的复平面的二维。然而，我们简化了的图仍是有助的。如果我们选 
择沿着物理空间的任一特别的线来考察波函数，我们就可简单地让x轴沿着这线，并临时 
利用其他两个空间方向来提供所需的复平面。这对理解双缝实验是有用的。 
  
　　正如我前面提到的，在经典物理中为确定粒子下一步怎么走，人们需要知道它的速 
度（或动量）。在这里，量子力学以显著的经济的方式为我们提供了这些。波函数ψ中 
已经包含有不同可能动量的各种幅度！（一些不满的读者考虑到我们已经将点粒子的简 
单的经典图像变复杂了这么多，也许认为现在该是有一点经济的“时候”了！虽然我非 
常同情这种读者，我得警告他们赶紧将扔给他们的这一些先捡起来，因为后面还有更坏 
的来临！）如何从ψ来决定速度幅度呢？实际上考虑动量幅度更好。（我们记得动量是 
速度乘以粒子的质量，192页）。人们所做的是把所谓的谐和分析应用到函数ψ上去。我 
不可能在这里仔细地解释它，但它和处理乐声有紧密的关系。任何波形都能被分解成为 
不同“谐音”的和（这就是“谐和分析”术语之来源）。它们是不同音调（亦即不同频 
率）的纯净的乐音。在波函数ψ的情形，“纯粹乐音”对应于粒子可能有的不同的动量 
，而每一“纯粹乐音”对ψ贡献的大小提供了该动量值的幅度。而“纯粹乐音”本身被 
称作动量态。 
  
　　动量态在ψ曲线上看起来是什么样子的呢？它看起来像个螺旋，其正式的数学名字 
叫螺旋线（图6.11）①。卷得紧的螺旋对应于大动量，而几乎不卷的只具有很小的动量 
。极限情形是根本不卷，而ψ曲线变成直线：这是零动量的情形。这里稳含有著名的普 
郎克关系。卷得紧表明短波长和高频率，并因此高动量和高能量；而卷得松表明低频率 
和低能量，能量E总是和频率v成比例（E=hv）。如果复平面以正常的方法指向，亦即上 
面给出的按照右手定则的x，y，z描述），那么在x轴正方向上的动量对应于右旋的螺旋 
（这正是通常用的螺旋）。 
  
　　不像上面那样按照通常的波函数，而是按照动量的波函数来描述量子态有时更有用 
。这归结为把ψ按照不同的动量态而展开，从而建立一个新 
  
  
  
　　一个p给出了p动量态对ψ的贡献的大小。（p空间称作动量空间。） 
  
　　p的幅度。 
  
  
  
　 
  
福里哀变换--这是以法国工程师兼数学家约瑟夫·福里哀（1768-- 
  
　　就是在动量空间表像中的螺旋）被称作位置态。每一位置x在动量空间决 
  
　　了ψ（x）的值。 
  
　　一个位置态本身在通常的位置空间表像中对应于在一个给定的x值处的非常尖锐的峰 
，除这一点外任何位置的幅度都为零。这种函数称作（狄拉克）δ函数��尽管由 
于它在x处的值为无限，从而它在技术上并不是通常意义上的“函数”。同样地，动量态 
（也即位置表像空间中的螺旋）在动量空间表像中给出δ函数（见图6.12）。这样，我 
们看到了螺旋的福里哀变换是一个δ函数，而且反之亦然！ 
  
　　只要人们要测量粒子的位置，位置空间的描述是有用的。这种测量归结于做一些事 
情，将不同可能的粒子位置的效应放大到经典的水平。（粗略地讲，光电管和照像底版 
进行了光子位置的测量。）动量空间的描述对测量粒子的动量有用，这种测量就是将不 
同的可能的动量的效应放大到经典的水平（反冲效应或晶体的衍射可用于动量测量。） 
在每种情形下，相 
  
　 
  
　　在本节结束之前我们再一次回到双缝实验。我们已经知道，按照量子力学，甚至一 
个单独的粒子都应像波动一样行为。这个波动为波函数ψ所描述。动量态是最“类似波 
动”的波。我们在双缝实验中摹想具有确定频率的光子；这样光子的波函数是由在不同 
方向的动量态组成。这些态中的螺旋的螺矩都是相同的，这螺矩又称作波长。（波长由 
频率所固定。） 
  
　　每个光子波函数一开始从源s散开来并且通过两个缝隙（在缝隙上不做任何检测）而 
到屏幕上去。只有波函数的一小部分从这缝隙出来。我们将每一条缝隙当作从该处分别 
散开来的波函数的新源。这两部分波函数互相干涉。这样，当它们到达屏幕时，在有些 
地方互相叠加，在另外一些地方互相抵消。为了找到它们在何处叠加和何处对消，我们 
在屏幕上取点p并考察其到两条缝隙t和b的直线、沿着tp有一个螺旋，沿着bp另有一个螺 
旋。（我们沿着st和sb也有螺旋，但是假定光源到每一条缝隙的距离相同，则在缝隙处 
两个螺旋刚好旋转了一样多。）现在，当这些螺旋到达屏幕的p点处旋转了多少得由直线 
tp和bp的长度决定。当这些长度的差为波长的整数倍时，则两个螺旋在p点就从它们的轴 
向同一方向位移（亦即θ=0°，这儿的θ的意思和上节一样），这样相应的幅度就互相 
叠加，我们得到一个亮点。当这些长度的差为波长的整数倍加上半波长时，则两个螺旋 
在p点从它们的轴向相反方向位移（θ=180°），这样相应的幅度就互相抵消，我们得到 
一个暗点。在所有其他情形下，这两个螺旋到达p时位移间有某一角度，这样幅度就以某 
种中间的方式相加，我们得到中等的光强（见图6.13）。 
  
  
  
不确定性原理 
  
　 
  
　　大多数读者都听说过海森堡的不确定性原理。根据这一原理，不可能同时将一个粒 
子的位置和动量精确地测量（亦即放大到经典的水平）。更糟糕的是，这些精度，譬如 
分别为△x和△p的乘积有一绝对极限，它由下面的关系式给出 
  
  
  
　　这一公式告诉我们，位置x测量得越准确，则动量p的测量就越不准确，反之亦然。 
如果位置被测量到无限精确，则动量就变得完全不确定；另一方面，如果动量被精确地 
测量，则粒子的位置就变得完全不确定。为了从海森堡关系给出的极限大小得到一些感 
性认识，假定将一个电子的位置测量到奈米（10-9米）的精度，那动量会变得这样的不 
确定，以至于人们不能预料一秒钟之后电子是否比100公里还近！ 
  
　　一些描述使人相信，似乎这仅仅是测量过程中固有的粗陋。相应地根据这种观点， 
在刚才考虑的电子的情形下，为了找到它的位置不可避免地赋予了它这等强度的“随机 
的反冲”，使得电子以海森堡原理所表明的数量级的巨大的速度冲撞。人们在其他的描 
述中认为不确定性是粒子自身的一个性质，它的运动有一种固有的随机性，这表明在量 
子水平上它的行为是内在的不可预见的。还有另一种说法认为，量子粒子是某种不可理 
喻的东西，对此经典位置和动量的概念均不适用。我对这几种看法都不喜欢。第一种有 
点误导，第二种肯定是错的，而第三种过于悲观。 
  
　　波函数的描述究竟告诉了我们什么？首先让我们回忆一下动量态的描述。这是动量 
被准确指定的情况。ψ曲线为一个螺旋，它离开轴的距离一直是一样的。所以不同位置 
的幅度都具有相同的平方模。如果要进行位置测量的话，则在任何一点找到该粒子的概 
率和在任何其他地方一样。粒子的位置是完全不确定的！关于位置态又如何呢？现在ψ 
曲线是-δ函数，位置被精确地固定在δ函数的尖峰处--其他地方的幅度均为零。在动量 
空间表像中最容易得到动量幅度。现在ψ曲线为一个螺旋，而不同动量的幅度具有相等 
的平方模。在测量粒子动量时，其结果会变得完全不确定！ 
  
　　考察位置和动量都只被部分地限制的中间情形是有趣的，只要它们和海森堡关系相 
一致就可以了。图6.14画出了这种情形的ψ曲线和相应的 
  
　　 
  
　　线到轴的距离明显地不为零。曲线在远处非常紧密地环抱着轴。这样，不管是在位 
置空间还是在动量空间中都只有在一个非常有限的区域平方模才有可觉察到的大小。因 
此，粒子在空间可以相当定域，但有一定的弥散，类似地，动量也是相当确定，粒子以 
相当确定的速度运动，而可能的粒子位置的弥散不随时间增加太大。这样的粒子态被称 
作波包，经常将它作为一个经典粒子的量子论的最好近似。但是动量（或速度）值的弥 
散表明波包将随时间弥散。原先开始的位置越定域，则弥散开得越快。 
  
  
  
　 
  
U和R演化步骤 
  
　 
  
　　在描述波包的时间发展中隐含着薛定谔方程，它告诉我们波函数在时间中的实际演 
化。薛定谔方程实际上是说，如果我们将ψ分解成动量态（“纯粹乐音”），那么每一 
个单独的分量将以问题中具有此动量的经典粒子速度去除c2而得到的速度离开。薛定谔 
数学方程在实质上是以更加紧凑的形式写下这些。下面我们再看它的精确形式。它有点 
像哈密顿或马克斯韦方程（和两者有紧密关系）。和那些方程一样，一旦波函数在某一 
时刻定好，则给出它的完全确定的演化！（见332页。） 
  
　　我们如果将ψ当作“世界实在”的描述，只要ψ是由决定性的薛定谔演化所制约， 
就根本不存在被认为是量子力学固有的特征的不决定性。让我们将这种演化过程称为U。 
然而，只要我们“进行一次测量”，将量子效应放大到经典水平，我们就改变了规则。 
现在我们不用U，而是用完全不同的我称作R的步骤，取量子幅度的平方模以得到经典概 
率4！正是步骤R也只有R在量子理论中引进了不确定性和概率。 
  
　　决定性的过程U似乎是作量子理论工作的物理学家关心的主要部分；而哲学家则对非 
决定性的态矢量减缩R（或者，正如有时形象化描述的：波函数的坍缩）更感兴趣。我们 
是否简单地将R认为是关于一个系统的“知识”的改变，还是认为（正如我认为）是“真 
正地”发生了什么。我们的确得到了物理系统的态矢量随时间变化的两种完全不同的数 
学方式。U是完全决定性的，而R是概率定律；U保持量子复叠加原则，但是R显著地违反 
之；U的作用是连续的，而R公然是不连续的。按照量子力学的标准过程，不存在以任何 
方式将R“归结”为U的复杂的情况的含义。它干脆是和U不同的过程，提供了量子力学的 
另一“半”的解释。所有的非决定性都是从R而不是从U来的。为了使量子理论和已有的 
观测事实美妙地协调，U和R两者都是需要的。 
  
　　让我们回到波函数ψ上来。假定它为一个动量态。只要此粒子不和任何东西相互作 
用，它就会在其余的时间里快乐地维持在那个动量态上。（这是薛定谔方程告知我们的 
。）无论我们什么时候去“测量其动量”都会得到同一确定的答案。此处不存在概率。 
和经典理论一样，可预言性在这里是非常清楚的。然而，假定在某一个阶段我们胆敢去 
测量（也就是放大到经典水平）粒子位置，这回我们就得到了一系列的概率幅度，我们 
必须将它们平方求模。那时候有许许多多的概率。完全无法肯定测量会产生什么结果。 
其不确定性和海森堡原理相一致。 
  
　　另一方面，让我们假定ψ从一个位置态开始（或几乎为一个位置态）。现在，薛定 
谔方程告诉我们，ψ不再停留在位置态上，它会很快地弥散开来。尽管如此，其弥散的 
方式完全由此方程所固定的。它的行为没有任何不确定性或随机性。原则上存在去检查 
此事实的实验。（下面还要讲到）。但是，如果我们不明智地决定去测量动量，就会发 
现所有可能的不同的动量值的幅度平方模相等。实验的结果则是完全的不确定性，这又 
和海森堡原则相一致，而概率是由幅度的平方模给定。 
  
　　这无疑是非常奇怪和神秘的。但是它不是不可理喻的世界图像。关于这个由许多非 
常清楚和准确的定律制约的图像还有许多可说的。然而，关于何时应该祈求随机性的规 
则R去取代宿命论的U尚没有清楚的规则。“进行一次测量”是什么含义？为何（何时） 
对幅度平方取模使之“成为概率”？“经典水平”能被量子力学地理解吗？这些都是在 
本章后头要讨论的深刻的令人困惑的问题。 
  
　 
  
粒子同时在两处？ 
  
　 
  
　　我在上面的描述中采取了也许比通常的量子物理学家们更“现实”的关于波函数的 
观点。我采取了单独粒子的“客观实在”的状态的确是由它的波函数所描述的观点。似 
乎许多人发现这个观点很难以严肃的方式予以坚持。之所以这样的一个原因是，它牵涉 
到我们认为单独粒子在空间中弥散开来，而不总是集中在单独的点上的事实。对于一个 
动量态，由于ψ在整个空间范围内平均地分布，这弥散达到了极端。人们不认为粒子本 
身发散到空间中去，而宁愿认为位置是完全不确定的。这样，人们关于位置所能说的是 
粒子在任何一处正和在另一处同样的可能。然而，我们已经看到，波函数不仅提供了不 
同位置的概率分布；它还提供了不同位置的幅度分布。如果我们知道这个幅度分布（亦 
即波函数ψ），则我们从薛定谔方程就知道粒子的态从一个时刻向另一时刻演化的精确 
方式。为了这样地决定粒子的“运动”（也就是ψ随时间的演化），我们需要粒子的这 
一“发散开去”的观点；而如果我们的确采用这个观点，我们就会看到粒子的运动的确 
是被精确地决定的。如果我们对粒子施加位置测量，那么关于ψ（x）的“概率观点”就 
很合适，因为那时仅仅使用ψ（x）的平方模的形式：|ψ（x）|2。 
  
　　看来必须接受这样的粒子图像，它会在空间的大范围内发散开去，并会一直发散到 
下一次进行位置测量为止。甚至当一个粒子被定域为位置态后，下一时刻就会开始发散 
开去。动量态似乎难于被接受为一个粒子存在的“实在”图像，但它也许更难被接受作 
刚穿过双缝出来的双峰态的“实在”图像（图6.15）。在垂直的方向上，波函数ψ的形 
式在每一条缝隙处都有尖锐的峰值。该波函数为上缝有峰值的波函数ψt和在下缝有峰值 
的波函数ψb的和①： 
  
　　ψ(x)=ψt(x)+ψb(x)。 
  
　　如果认为ψ代表粒子态的“实在”，那么我们必须接受粒子的确同时在两处的图像 
！基于这一观点，粒子确实同时穿过两条缝隙。 
  
　　回忆一下反对粒子“同时穿过两条缝隙”这观点的标准说法：如果我们在缝隙处作 
测量以确定它是否通过那一条缝隙，我们总是发现整个粒子通过这条或那条缝隙。但是 
这是因为我们对粒子进行位置测量引起的，这时ψ仅仅提供和按照平方模步骤一致的粒 
子位置的概率分布|ψ|2，而我们的确发现它在这一处或那一处。但是在缝隙处我们还能 
进行不同于位置测量的其他测量。为此，我们应该知道不同位置x的双缝波函数ψ，而不 
仅是|ψ|2。这样的测量可以将上面给出的双峰态 
　　ψ=ψt+ψb 
　　和另一双峰态，如 
　　ψt－ψb 
　　φt－φb 
　　或 
　　ψt+iψb 
　　区别开来。（见图6.16中三种不同情形下的ψ曲线。）因为确实存在将这些不同可 
能性区别开来的测量，所有它们必须是光子能存在的不同可能的“实际”方式！ 
  
　　 
  
　 
  
　　缝隙没有必要靠得很近使“光子”同时穿过它们。为了演示不管它们距离多么远量 
子粒子总能“同时在两处”，考虑一个稍微和双缝实验不同的实验装置。和以前一样， 
我们有一个发出单色光的灯泡。每一时刻只发一个光子；但是这回不让光子通过两个缝 
隙，我们让它从一面倾斜角45°的半镀银的镜面反射出来。（半镀银镜子是一种刚好将 
射到它上面的光反射一半，而让所余下的一半光直接穿透过去的镜子。）在它遭遇到镜 
子以后，光子的波函数分裂成两个部分，一部分反射回来，另一部分继续原先光子的方 
向。波函数又是双峰值的，但是这回双峰是更宽广地分离开了。一个峰描述反射的光子 
，而另一峰描述透射的光子（见图6.17）。此外，两峰的分离随着时间流逝变得越来越 
大，并随着时间无限地增加。想象波函数的这两部分跑到空间去，而我们整整等待了一 
年。那么光子波函数的这两部分相距将超过一光年。光子不知怎么搞的发现自己同时出 
现在相距比一光年还远的两地方！ 
  
　 
  
　 
  
　　 
  
　　是否有理由去认真地接受这样的图像呢？难道我们不能简单地认为光子有百分之五 
十的机会在一个地方，而另外百分之五十的机会在另一处呢？不，我们不能！不管旅行 
了多长时间，总能将光束折射回来，使之再互相遭遇，得到两种不同选择的概率权重所 
得不到的干涉效应。假定光束的两部分各遇到一面全镀银的镜子。我们调整好镜子的角 
度使之再次遭遇在一起。在交会点放上另一面半镀银镜子，角度刚如和第一面一样。在 
两束光的直线方向上各放一个光电管（见图6.18）我们会看到什么呢？如果情况仅仅是 
，光子有一半的机会走一条途径，另一半机会走另一条，那么我们应该发现其中一个检 
测器有一半的机会记录到光子，另一半机会是被另一个检测器记录到。然而，事情并非 
如此。如果两个途径的长度完全相同，则百分之一百的机会是光子抵达放在原先光子运 
动的方向上的检测器A，而百分之零的概率是光子抵达另一检测器B��光子肯定打 
到检测器A上去！（正如在双缝实验中那样，我们可用上面的螺旋描述来看到这些。） 
  
　　当然，这类实验从未在途径长度达到光年数量级以上被实现过，但所叙述的结果从 
未被（传统的量子物理学家）认真地怀疑过！实际上，这类实验在途径长度为几米的情 
形下被实现过，其结果的确和量子力学的预言相一致（参阅惠勒1983）。关于光子在它 
第一次和最后一次和半反射镜遭遇之间的存在的态的“实在”，此结果告诉了我们什么 
呢？似乎不可避免的是，在某种意义上光子实际上同时沿着两条途径旅行！因为如果将 
一吸收屏幕放在任何一条途径上，则光子到达A和B的概率将相等；但是当两条途径同时 
打开（并具有一样长度）则只能到达A！而堵住一条途径时却实际允许到达B！两条途径 
都打开时，光子“知道”不允许它到达B，所以它必须感觉到两条途径。 
  
　　尼尔斯·玻尔关于在测量瞬息之间的光子存在没有客观“意义”的观点，依我看来 
是有关光子态实在的过于悲观的观点。量子力学让我们以波函数来描述光子位置的“实 
在”，而在半镀银镜子之间的光子波函数刚好是双峰态，双峰之间的距离有时非常可观 
。 
  
  
  
　　我们还注意到，“同时处于两个指定的位置”不是光子态的完全描述：譬如讲我们 
必须能把态ψt+ψb从态ψt-ψb（或ψt＋iψb）区别开来，这儿ψt和ψb是指分别处于 
两条途径中的光子（现在分别为“穿透的”和“反弹的”光子）。正是这种区别决定了 
光子到达半镀银镜子时，肯定到达A或B（或以中等的概率到达A或B）。 
  
　　量子实在的令人困惑的特征，也就是我们必须认真地认为的粒子可以各种（不同！ 
）的形式“同时处于两处”��这是因为必须允许用复数权重把量子态加起来以得 
到其他量子态这个事实引起的。这种态的叠加是量子力学称之为量子线性叠加的一般的 
、重要的特征。正是它允许我们从位置态组成动量态，或从动量态组成位置态。在这些 
情形下，线性叠加被应用到无限多的不同的态，也就是所有不同的位置态，或所有不同 
的动量态。但是，正如我们已经看到的，只要把它仅仅应用于一对态就引起了这样的困 
惑不解。其规则是不管任何两个态是多么不同，它们能在任何复线性叠加上共存。的确 
，任何自身由单独粒子构成的物理对象应当能以这种在空间中分隔得很开的态的叠加的 
形式而存在，并因此“同时处于两处”！量子力学的形式在这方面对于单独粒子还是许 
多粒子的复杂系统并没有差别。那么为何我们从未经验过宏观物体，（譬如棒球或甚至 
人）同时处于完全不同的地方？这是一个根本的问题，今日量子理论尚不能为我们真正 
地提供一个满意的答案。对于像棒球这样的如此富有内容的对象，我们必须认为这些系 
统处于“经典水平”��或者，正如通常说的，“观察”或“测量”将对该棒球进 
行的��而那时对我们的线性叠加进行加权的复概率幅度必须已被平方求模，并当 
作描述实际不同选择的概率。然而，这正好引起一个争议性问题：为何允许我们以这种 
方式改变U到R的量子规则！以后我还要讨论这个问题。 
  
　 
  
希尔伯特空间 
  
　 
  
　　我们记得在第五章为了描述经典系统引进了相空间的概念。相空间中的单独的点代 
表整个物理系统的（经典的）态。在量子力学中，其相应的类似概念是希尔伯特空间① 
。现在希尔伯特空间中的单独的点代表整个系统的量子态。我们需要浏览一下希尔伯特 
空间的数学结构。我希望读者对此无所畏惧。我应该说，虽然其中的一些思想也许是非 
常陌生的，它不是数学上非常复杂的东西。 
  
　　希尔伯特空间的最基本的性质在于它是一种所谓的矢量空间--事实上，是一个复的 
矢量空间。这表明允许我们把空间的任何两个元素加起来得到另一个元素，也允许我们 
实行带有复杂权重的加法。因为这些是我们刚刚考虑的量子线性叠加的运算，也就是对 
于上面光子给予我们ψt+ψb，ψt-ψb，ψt＋iψb等等的各种运算。我们能做到这些。 
我们使用的术语“复矢量空间”的所有含义就是允许进行这类带权的求和5。 
  
　　可以十分方便地使用狄拉克引进的记号，用某种带角形的括号诸如|ψ＞，|x＞，| 
ψ＞，|1＞，|2＞，|3＞，|n＞，|↑＞，|↓＞，|→＞，|＞等等表示被当作态矢量的 
希尔伯特空间元素。这样，这些符号现在表示量子态。我们把两个态矢量的叠加写作 
　　|ψ＞+|x＞， 
　　而带复数权重w，z的求和写作 
　　w|ψ＞＋z|x＞ 
　　（这里w|ψ＞表示w×|ψ＞等等）相应地，我们现在可以将上述的组合ψt+ψb，ψ 
t-ψb，ψt+iψb分别写为|ψt＞+|ψb＞，|ψt＞-|ψb＞，|ψt＞+i|ψb＞。我们还可 
以将一个单独态|  ＞乘上一个复数w得到 
　　w|ψ＞。 
　　（这是前面的一个特例，即z＝0。） 
　　我们知道可以允许进行复权重的组合，这里w和z不必要是真正的概率幅度，只要是 
和这些幅度成比例即可。相应地我们采用允许以一个非零复数去乘整个态矢量而物理态 
不变的规则。（这会改变w和z的实际的值，但是w∶z保持不变。）下面的每一矢量|ψ＞ 
，2|ψ＞，-|ψ＞，i|ψ 
  
一个物理态（z≠0）。希尔伯特空间唯一不能解释为物理态的要素是零矢量。（亦即希 
尔伯特空间的原点）。 
  
  
  
　　为了对所有的这一切进行几何描述，让我们首先考虑“实”矢。量的更通常的概念 
。人们通常将这样的矢量简单地摹想成平面上或三维空间上的一个箭头。利用平形四边 
形定律可得到两个箭头的和（图6.19）。用一个（实）数乘一个矢量的运算，按照“箭 
头”的图像就是简单地将此箭头的长度乘上这数，同时保持箭头的方向不变。如果乘数 
为负的，那么箭头的方向倒过来；如果乘数为零，则得到零矢量，它没有方向。（矢量O 
表示零长度的“零箭头”。）作用到一个粒子上的力即是这种矢量的一个例子。而经典 
速度、加速度和动量则为另外的例子。还有我们在上一章结尾处考虑的动量四矢量那是 
在四维而不是二维或三维空间的矢量。然而，希尔伯特空间中的矢量具有更高维数（事 
实上，通常是无限维的，但这一点在这里并不是重要的）。我们记得在经典相空间中也 
用箭头来表示矢量--;那一定是非常高维的。相空间的“维数”不代表通常的空间的方向 
，希尔伯特空间的“维数”也是这样。相反地，每一希尔伯特空间的维数对应于量子系 
统的不同的独立的物理态。 
  
　 
  
　　由于|ψ＞和z|ψ＞是等效的，所以一个物理态实际上对应于希尔伯特空间中通过原 
点的整条直线或射线（表述成某一矢量的所有的倍数），而不是这条线上的某一特殊的 
矢量。这射线包含特定态矢量|ψ＞的所有可能的倍数。（请记住，这些是复的倍数，所 
以直线实际上是复的线，但是现在最好不去忧虑它！）（参见图6.20）。我们将很快找 
到二维希尔伯特空间情形下的射线空间的精巧图画。无限维的希尔伯特空间是另一种极 
端情形。甚至在简单的单独粒子位置的情形下也会出现无限维的希尔伯特空间。粒子所 
有可能的位置都有完整的维！粒子的每个位置都在希尔伯特空间中定义一个完整的“座 
标轴”。这样，对应于粒子的无限不同的位置在希尔伯特空间中就有无限多不同的独立 
的方向（或“维数”）。动量态也可在同一希尔伯特空间中被表述。动量态可表达成位 
置态的组合，每一动量态对应于一个“对角线”出发的相对于位置轴倾斜的轴。所有动 
量态的集合提供了新的轴的集合。而从位置态轴向动量态轴的过渡牵涉到希尔伯特空间 
中的一个旋转。 
  
　 
  
　　人们甭想以精密的方式来摹想这一切。那是不合情理的！然而，从通常的欧几里德 
几何可以得到某些对我们非常有用的观念。特别是，我们直到现在考虑过的轴（所有的 
位置空间轴或所有的动量空间轴都认为是相互正交的，也就是相互夹角为“直角”。射 
线之间的“正交性”是量子力学中的一个重要概念：正交的射线是指相互独立的态。粒 
子所有可能不同的位置态都相互正交，所有可能不同的动量态也是如此。但是位置态并 
不和动量态垂直。这种情形已在图6.21上被非常梗概地表达出来。 
  
　 
  
测 量 
  
　 
  
测量（或观察）的一般规则R要求，量子系统的不同方面能被同地放大到经典水平的以及 
之后系统应当选取的不同状态必须永远是正交的。对于一次完整的测量，可选取的不同 
选择的集合组成正交基矢量的集合，表明希尔伯特空间中的每一矢量都能（唯一地）按 
照它们线性地表达出来。对于一个只包含单粒子的系统的位置测量，这些基矢量定义了 
我们刚刚考虑的位置轴。对于动量，它是定义为动量轴的不同的集合，对于不同种类完 
整的测量，还相应有其他的集合。测量之后，该系统的态跃迁到这些测量所决定的集合 
的一个轴上去��其选择只由概率来制约。没有任何动力学定律能告诉我们大自然 
会在已挑出的轴中选择哪一个。其选择是随机的，其概率为概率幅度的平方模。　 
  
  
　　假定我们对一个具有态  ψ＞的系� 进行了完整的测量，所选择的测量的基为： 
 　。�0＞，｜1＞，｜2＞，｜3＞，……。 
　　由于它们组成了完全集，任何态矢量，特别是   祝究梢 按照它们而线性地①表示 
为： 
　　丨ψ＞=z0丨0＞+z1丨1＞+z2丨2＞+z3丨3＞+……。 
　　在几何上，分量z0，z1，z2，……是矢量｜ψ＞的在不同的轴｜0＞，｜1＞，｜2＞ 
……上的正交投影的大小的测度（见图6.22）。 
  
　　我们能将复数z0，z1，z2，……解释作所需要的概率幅度，这样它们的平方模就提 
供了在测量之后该系统处于相应的｜0＞，｜1＞，｜2＞，……等态的不同概率。然而， 
这还不完全，因为我们还未固定住不同的基矢量｜0＞，｜1＞，｜2＞，……等等的“尺 
度”。为此我们必须指明它们在某一种意义上是单位矢量（亦即具有单位“长度”的矢 
量），用数学的术语，它们组成了所谓的正交基（相互垂直的并归一化为单位矢量）6。 
如果  ψ＞也被归� 化成单位矢量，那么所需的相应的概率｜z0｜2，｜z1｜2，｜z2｜2 
……。如果  ψ＞不是单位矢量，则这些数就分别� 所需的概率� 度成比例。实际的幅 
度就为： 
  
　　并且实际概率为： 
  
  
  
　　这里  ψ｜是态矢量｜ψ＞的“长度”。每一态矢量都具有正实数的“长度”（除 
了O具有零长度），而且如果  ψ＞为单位矢量则  ψ｜=1。 
  
　　完整测量是一种非常理想的测量。例如，一个粒子的位置的完整测量需要我们能在 
宇宙中的任何地方以无限精度将该粒子定位！一种更初等的测量是我们简单地问是或非 
的问题，譬如：“该粒子是处于某一根直线的左边或右边？”或“该粒子的动量是在某 
一个范围内吗？”等等。是或非的测量真正是测量的最基本类型。（例如，人们可以只 
用是或非测量把粒子的位置或动量收缩到任意小的范围。）假定是或非测量的结果为是 
。那态矢量必须在希尔伯特空间的“是”的我称之为Y的区域内。另一方面，如果测量的 
结果为非，那态矢量就在希尔伯特空间的“非”的我称之为N的区域内。区域Y和N是完全 
相互正交的，任何属于Y的态矢量必须和属于N的任何矢量正交（反之亦然）。此外，任 
一态矢量都能以唯一的方式表达成分别来自Y和N的两个矢量之和。用数学的语言讲Y和N 
是相互正交互补的。这样，｜ψ｜可唯一地表达成 
  
 　。祝�=｜ψY＞+｜ψN＞， 
  
　　这里｜ψY＞属于Y，而｜ψN＞属于N。｜ψY＞称为态  ψ＞在Y的正交投影，相应 
地｜ψN＞为｜ψ＞在N上的正交投影（见图6.23）。 
  
　 
  
　　在测量时，态｜ψ＞跃迁并成为（比例于）｜ψY＞或｜ψN＞。如果结果为是，则 
它跃迁到｜ψY＞；如果为非，则跃迁到｜ψN＞。如果｜ψ＞是归一化的，则发生这些 
的相应概率为这些投影的态的长度平方 
  
 　。譟｜2，｜ψN｜2。 
  
　　如果  ψ＞不是归一化� ，我们必须将这些表示式除以  ψ｜2。（“毕达哥拉斯定 
理”，  ψ｜2=｜ψY｜2+｜ψN｜2断言，这些概率之和为1，正如所预想的那样！）请 
注意，从｜ψ＞跃迁到｜ψY＞的概率由在投影中的长度平方的减少的比所给出。 
  
　　关于作用于量子系统的“测量动作”还有最后一点要弄清。不管对于任何态�� 
;譬如态｜x＞--总存在一个可在原则上进行的是或非测量7。如果被测量的态是（比例于 
）｜x＞，其答案则为是；如果垂直于｜x＞则为非。这样上面的区域Y可包含任何选定的 
态所有的倍数。这似乎隐含有很强的意义，态矢量必须是客观存在的。不管物理系统的 
态是什么，我们可称之为｜x＞。存在一种原则上可实行的测量，在此测量下｜x＞为唯 
一的（只差一个比例系数）肯定得到是的结果的态。这种测量对于某些态｜x＞也许是极 
其困难、甚至在实际中是“不可能”实现的。但是，根据这个理论，这样的测量在原则 
上能实现的事实，将会在本章后面产生某些惊人的推论。 
  
　 
  
自旋和态的黎曼球面 
  
　 
  
量子力学中称为“自旋”的量有时被认为所有物理量中最“量子力学”的。这样，我们 
对之稍微多加注意是明智的。什么是自旋？它本质上是粒子旋转的度量。“自旋”这个 
术语暗示某种像板球或棒球自旋的东西。让我们回忆一下角动量的概念，正如能量和动 
量一样，它是守恒的（见第五章190页和266页）。只要物体不受摩擦力或其他力的干扰 
，它的角动量就不随时间改变。量子力学的自旋的确是如此，但是我们这里开心的是单 
独粒子的“自旋”，而不是大量的单独粒子围绕着它们共同质心的轨道运动（这正是板 
球的情形）。物理学的一个显著事实是，自然中发现的大多数粒子在这种意义下的确是 
在“自旋”，每种粒子都有自己固有的自旋的大小8。然而，正如下面要看到的，单独量 
子力学粒子的自旋有一种我们绝不能从自旋着的板球等等的经验所能预料到的某种特殊 
的性质。 
  
　　首先，对于每一特殊类型的粒子，其自旋的大小总是一样的。只有自旋的轴的方向 
可以（以一种我们就要讲到的非常奇怪的方式）改变。这和板球的情形形成全然的对比 
，板球可依出球方式的不同具有任意大小任意 
  
  
  
　　原先允许的一个原子的量子化的角动量的最小正值的一半。（我们记得这　 
  
　　每一个粒子都不自旋的对象不允许有这个角动量值。它只能是由自旋为粒子自身的 
固有的性质而引起的（也就是说，不是因为它的“部分”围绕某种中心的公转引起的） 
。 
  
  
  
　　称为费米子。它在量子力学描述中呈现出非常奇怪的行径：完整的360°的旋转使态 
矢量回到负的态矢量，而不是回归到自身！自然界的许多粒子的确是费米子。它们古怪 
的形式，对我们自身的存在是如此之关键--我 
  
  
  
　　色子的态矢量回归到自身，而不是它的负矢量。 
  
  
  
　　粒子为电子，但质子、中子或甚至某种原子的情形也是一样的。（一个“粒子”可 
以允许具有个别部分，只要它整个可以用量子力学处理，并具有定义得很好的角动量就 
可以了。）我们使电子处于静止状态，并只考虑其自旋态。现在量子态空间（希尔伯特 
空间）只有二维，所以我们可以采用只有两种状态的基。我把这些态标成 竞停� 
＞。其中  ↑＞表示按右手定则垂直向� 的自旋，｜↓＞表示向下的自旋（图6.24）。 
态  ↑＞和态｜↓＞是相互正交的，我们并将它们归� 化（｜↑｜2=｜↓｜2=1）。电子 
任何可能的自旋态都是这仅有的两个正交态｜↑＞和｜↓＞也就是向上和向下的态的线 
性叠加，譬如w｜↑＞+z  ↓＞。 
  
　 
  
　　关于“向上”和“向下”的方向并没有什么特别之处。我们可以一样便利地选择在 
任何其他方向的自旋，譬如向右  →＞和相反的向左  ←＞的态去描述。然而，（对于 
   竞停镜氖实钡母词 比例的选� ，我们发现① 
   。�=｜↑＞+｜↓＞以及｜←＞=｜↑＞--  ↓＞。 
　这为我们提供了新的视角：任何电子的自旋态都是两正交态｜→＞和｜←＞也就是向 
右的和向左的态的线性叠加。我们可以另外选择完全任意的方向，譬如态矢量｜＞指定 
的方向。这又是   竞停镜哪持指 线性叠加，譬如 
 　。�=w｜↑＞+z｜↓＞， 
　　而每一个自旋态为此态和与它正交的态｜＞（指向和｜＞相反9）的线性叠加。（注 
意，在希尔伯特空间中的“正交”的概念不需要对应于通常空间的“直角”。此处正交 
的希尔伯特空间矢量对应于空间的相反方向，而不是两个方向夹直角。） 
  
　　什么是｜＞在空间中所决定的方向和两个复数w和z的几何关系呢？由于｜＞给出的 
物理态并不因为被用任何非零复数去乘它而改变，所以只有z和w的比才有意义。将这个 
比写作 
　　q=z/w。 
　　q只是某个复数，除了为了和w=0的情形相一致而“q=∞”，也就是当自旋方向垂直 
向下也是允许的以外。除了q=∞以外，我们总能用q代表复平面上的一点，正如我们在第 
三章所做的。我们可以想象复平面水平地处于空间中，按上面的描述实轴的方向“向右 
”（亦即在自旋态｜→＞的方向上）。想象一个中心在复平面原点上的单位球面，这样 
点l，i，-1，-i都在球面的赤道上。我们将南极上的点认为是∞，然后从该点开始投影 
，这样整个复平面都被映射到球面上。任何复平面上的点q都在球面上对应唯一的点q， 
它可由这两点必须和南极联成直线而得的（图6.25）。这一对应称之为立体角投影。它 
具有美丽的几何性质（亦即它保持角度并将圆映射成圆）。该投影使我们可用复数和∞ 
一起，也就是所有可能的比q的集合，来标记球面上的每一点。以这种特殊方式标记的球 
面称作黎曼球面。 
  
　　黎曼球面对于电子自旋态的意义在于，态｜＞=w｜↑＞+z  ↓＞的自旋方向和由从 
中心到黎曼球面上标记有q=z/w点的实际方向一致。我们注意到，北极对应于态｜↑＞， 
它是z=0，也就是标记作q=0，而南极为｜↑＞，标记作w=0亦即q=∞。最右的点标记着q= 
1，它提供｜→＞=｜↑＞+｜↓＞，而最左的点q=-1提供了｜←＞=｜↑＞-｜↓＞。绕过 
球面最远的点标作q=i，相应于态｜↑＞+i｜↓＞，其自旋的方向直接离开我们，而最近 
的点为q=-i，对应于｜↑＞-i｜↓＞，其自旋直接指向我们。而一般的标记为q的点对应 
于｜↑＞+q  ↓＞。 
  
　 
  
　　所有这一切和人们要进行的电子自旋的测量有什么关系呢10？在空间选取某一个方 
向；我们称为α。如果我们在此方向测量电子自旋，答案为是表明电子（现在）的确以 
右手定则在α方向自旋，而非表明自旋的方向和α相反。 
  
　　假定答案为是；那么我们将此结果的态标记为  α＞。如果我们简单地重复此测量 
，利用和前面完全同样的方向α，则我们的答案应该又是百分之百的概率为是。但是如 
果在第二次测量时我们改变方向，改到一个新的β方向，则会发现答案为是的跃迁到态 
  β＞上去的概率� 了。还� 答案为非的跃迁到和β相反方向的态上去的概率� 如何计 
算此概率呢？答案是在上节结尾处的方案中。第二次测量为是的概率为 
  
  
　　这里θ是两个方向α，β之间的夹角11。相应地，第二次测量为非的概率为 
  
  
  
　　我们从这里能看到，如果第二次测量是在与第一次夹角直角的情况，则两种结果的 
概率都为百分之五十（cos90°=0）：第二次测量的结果完全是随机的！如果两次测量的 
夹角为锐角，则答案为是的可能性比非要更多。如果为钝角。则非的可能性更多。在β 
和α相反的极端情形下，答案为是的概率为0，而为非的概率为百分之百；也就是说，第 
二次测量的结果一定是和第一次相反。（参见费因曼等1965关于自旋的更详尽的讨论。 
） 
  
　　黎曼球面实际上对于任何双态的量子系统，在描述一系列可能的量子态（准确到一 
个比例系数）时起着基本的（但是未被广泛认识到的）作用。对于半自旋的粒子，它的 
几何作用特别明显，因为球面上的点对应于自旋轴的可能的空间方向。在其他很多情形 
，难以看到黎曼球面的作用。考虑刚刚通过双缝隙，或从半镀银镜子反射回来的光子。 
光子态为某个描述两个完全不同位置的双态｜ψt 竞 ｜ψb＞的诸如｜ψt＞+｜ψb＞， 
｜ψt＞-｜ψb＞或｜ψt＞+i｜ψb＞等等的线性组合。黎曼球面仍然描述物理上一系列 
不同的可能性，但现在仅仅是抽象地。态｜ψt＞由北极（“顶”），｜ψb＞由南极（ 
“底”）分别代表。而｜ψt＞+｜ψb＞，｜ψt＞-｜ψb＞以及｜ψt＞+i｜ψb＞由赤 
道上的不同的点代表。一般地，w｜ψt＞+z｜ψb＞为点q=z/w所代表。在很多情况下， 
正像这个例子，“黎曼球面可能的价值”相当隐蔽，和空间几何没有清楚的关系。 
  
　 
  
客观性和量子态的可测量性 
  
　 
  
　　尽管我们在正常的情况下只能为实验的结果提供概率的这个事实，关于量子力学的 
态似乎有某些客观的东西。人们经常断言，态矢量只为了方便描述“我们已知”的物理 
系统--或者，态矢量也许实际上并不描述一个单独的系统，而仅仅是提供大量制备好的 
类似系统在“系综”方面的概率信息。在关于量子力学告诉我们物理世界的实在性方面 
，我觉得这种意见过分胆怯。 
  
　　有关态矢量的“物理实在性”的一些谨慎或怀疑，是由于按照该理论，物理上可测 
量的东西严格地受到限制这个事实引起的。让我们考虑上述的电子自旋态。假定自旋态 
刚好是  α＞，但是我们不知道这些，也就是说我们不知道电子自旋的方向α。我们能 
否用测量来决定此方向呢？不，我们不能。我们最多能做的只是提取“部分”信息--就 
是简单的是或非问题的答案。我们可以选取空间中的某个方向β并在该方向上测量电子 
自旋。我们得到的答案非是即非，但在此之后，我们就丧失了关于原先自旋方向的信息 
。答案为是的话，我们知道现在这个态和  β＞成比例；答案为非的话，则现在的态在 
和β相反的方向上。没有任何一种情形告诉我们测量之前态的方向α，它仅仅是给出了 
关于α的某种概率的信息。 
  
　　另一方面，似乎有某种完全客观的关于方向α的东西，电子在测量之前“刚好沿着 
这个方向自旋”①。由于我们也许选定了在方向α上测量电子的自旋--而电子必须肯定 
地给出的答案，如果我们刚好猜中了的话！无论如何，电子的自旋态中贮藏着电子实际 
上必须给出的这个答案的“信息”。 
  
　　我似乎觉得，在按照量子力学来讨论物理实在的问题时，我们应该将什么是“客观 
的”和什么是“可测量的”区别开来。在对一个系统进行实验时，不能准确地（除了比 
例系数外）断定它处于何态，也就是说系统的态矢量的确是不可测量的。但是，态矢量 
似乎的确（又是除了比例系数外）是系统的完全客观的性质，它为人们可能进行的实验 
的结果所完全表征。在诸如电子的半自旋的单独粒子的情形，因为它仅仅断言存在电子 
自旋被精确定义的某方向，即便也许我们不知道这个方向，这种客观性也不是不合理的 
。（然而，以后我们会看到，对于更复杂的系统，这个“客观的”图像会变得更奇怪得 
多--甚至对于仅仅包含一对半自旋粒子的系统而言也是如此。） 
  
　　但是，在电子自旋被测量之前它必须有一个物理上定义的态吗？在许多情形下，它 
没有必要。因为它自身不能被认为是一个量子系统，物理态一般地必须认为是一个和其 
他大量粒子纠缠在一起的电子的描述。然而在特殊情形下，可以考虑电子本身（至少就 
其自旋而言）。按照标准的量子理论，在这种情况下，譬如它的自旋的方向预先（也许 
未知的时刻）被测量过之后的一段时间内没受到干扰，那么电子就具有完全客观的定义 
好的自旋方向。 
  
　 
  
复制量子态 
  
　 
  
　　电子自旋态的客观性以及不可测量性阐释了另一个重要事实：不能在使原先的态不 
被触动的情形下将其复制。因为假定我们能对一个电子的自旋态｜α＞进行复制。若能 
复制一遍，则能两遍多遍地复制。结果的系统会在一个定义得非常好的方向上具有大的 
角动量。可由宏观测量把这个方向 粒救范 下来。这就违反了自旋  ｜α＞的基本的 
不可测量性。 
  
　　然而，如果我们准备去破坏原先的态，则复制便成为可能。例如，我们有一处于未 
知的自旋   粒镜牡缱雍土硪淮τ诹硪桓鲎孕�  ｜γ＞的中子。将它们交换� 中子自 
旋态为  α＞而电子态为  γ＞是完全合法的。我们所不能做的是复制 粒荆ǔ� 
我们预先知道  α＞实际上为何态）！（还可参阅伍特斯和朱列克1982。） 
  
　　我们记得在第一章（29页）讨论过“远距运送机器”。这机器，原则上依赖于在遥 
远的行星上有可能拼装出一个人的身体大脑的复制本。一个人的“所知所闻”可以依赖 
于一个量子态的某些方面，这是一个令人感兴趣的猜想。若果真如此，则量子力学禁止 
我们去复制“所知所闻”而不破坏原先的态。远距离搬运的“矛盾”可望以这种方式得 
到解决。量子效应和大脑功能的可能关联将在最后两章考虑。 
  
　 
  
光子自旋 
  
　 
  
　　让我们在下面考虑光子的“自旋”以及它和黎曼球面的关系。光子具有自旋，但是 
因为它们总是以光速运动，人们不能将自旋认为是围绕于一个固定点；相反地自旋轴总 
在运动的方向。光子自旋称之为极化，这就是“偏振片”太阳镜的行为所根据的现象。 
把两偏振片重叠在一起并透视之。一般地讲，你会发现有一定量的光透过去。现在使其 
中一片不动而旋转另一片，通过的光量会发生变化。在一个方向上，穿透的光达到最大 
，第二偏振片实际上并没减少穿透的光量；在与此垂直的方向上，第二偏振片可使通过 
的光量减少到零。 
  
　　按照光的波动图像最容易理解所发生的现象。在这里我们需要用马克斯韦的光波的 
振动电磁场描述。图6.26画出了平面偏振的光。电场在一个称为极化面的平面上上下振 
动。而磁场在一个垂直于电场振动的平面上振动，电磁场相互共振。每一偏振片让极化 
面和偏振片结构相平行的光通过。当第二个偏振片的结构和第一个指向一致时，所有通 
过第一偏振片的光就会通过第二偏振片。但是，当它们结构的方向相互垂直时，第二偏 
振片就将通过第一偏振片的光全部阻拦住。如果两个偏振片的指向夹角为时，则第二偏 
振片让 
  
　　cos2 
  
　　部分的光通过。 
  
　 
  
　　在粒子表像中，我们应该把每一单独光子认为是具有偏振的。第一偏振片的行为像 
一个偏振度测量器。如果光子的确在一个合适的方向偏振，它就给出是的答案，并让光 
子通过。如果光子在与此相垂直的方向偏振，则答案为非，光子就被吸收。（注意在希 
尔伯特空间中的“正交”并不对应于通常空间中的“夹直角”！）假定光子通过了第一 
偏振片，则第二偏振片就会问相应的问题，但是对于某个其他的方向。如果两个方向的 
夹角为，我们现在就有cos2作为已经通过第一偏振片的光子通过第二偏振片的概率。 
  
　　黎曼球面和这些有何相干呢？为了得到偏振态的全部复数系列，我们必须考虑圆的 
和椭圆的偏振。图6.27画出了经典波动的情形。圆偏振时电场旋转，而不是振荡。磁场 
仍然和电场成直角并同步地旋转。椭圆偏振可看成旋转和振动的结合，而描写电场的矢 
量在空间划出一个椭圆。在量子描述中，每一单独光子允许这些不同极化的方式--光子 
自旋的态。 
  
　　如何在黎曼球面上将所有这些可能性表示出来呢？想象一个垂直向上运动的光子。 
现在北极代表右手自旋的态｜R＞，这表明当光子通过时电场矢量以反时钟方向绕着垂直 
的轴旋转（从上面看）。而南极代表左手自旋的态｜L＞。（我们可以把光子想象成像来 
福枪子弹一样自旋，或是右旋或是左旋。一般的自旋态｜R＞+q｜L＞是这两种态的复线 
性组合，它对应于黎曼球面上标出的一点。为了求出q和偏振椭圆的关系，我们首先取q 
的平方根p： 
  
  
  
　　然后在黎曼球面标出p而不是q。考虑通过球面中心的一个平面，该平面垂直于连接 
标上p的点和球心的直线。此平面和球面的交线为一圆周。我们将此圆周垂直投影就得了 
偏振椭圆（图6.28）①。q的黎曼球面仍然描述了光子偏振态的总体，但是q的平方根为 
之提供了空间实现。 
  
　 
  
　 
  
　 
  
　　我们可同样地将用于电子的同一个公式1/2（1+cosθ）用于计算概率，只要我们把 
它应用于q而不是p。考虑一平面偏振我们首先在一个方向上，然后在另一和它夹角的方 
向上测量光子的偏振。这两个方向对应于球面赤道上从中心看张角为的两个p值。因为p 
为q的平方根，所以q点在中心的张角为p点张角的两倍：θ=2。这样，在第一测量结果为 
是后第二测量结果亦为是（亦就是通过第一偏振片的光子再通过第二偏振片）的概率为1 
/2（1+cos2）这正是前面断言的cos2…（可用简单的三角验证之）。 
  
　 
  
大自旋物体 
  
　 
  
　　对于具有多于两个基本态的量子系统，在物理上可区别的态的空间比黎曼球面更复 
杂。然而在自旋的情况，黎曼球面本身总是起着直接的几何 
  
　　这样自旋就定义了一个n+1态的量子系统。（对于一个无质量的，也就是以光速运动 
的自旋的粒子，譬如光子，正如上面所描述的，自旋总是一个两态系统。但是对于有质 
量的粒子，态的数目随着自旋而增加。）如果我们选择在某一个方向测量该自旋，会发 
现共有n+1不同的可能的结果，此结果依自旋相对于该方向的指向而定。按照基本的单位 
h/2，在那个方向自旋的可能结果为n，n-2，n-4，…，2-n或-n。这样n=2时其值为2，0 
或-2；n=3时其值为3，1，-1或-3；等等。负值对应于自旋主要指向和所测量的方向相反 
的方向。在半自旋的情形，亦即n=1时，上述的值1对应于是，而值-1对应于非。 
  
　　由于我不想企图在这里解释的原因，人们发现（马约拉纳1932，彭罗 
  
　　一地由黎曼球面上的（无序的）n点的集合，也就是从中心出发的n个（通常不同的 
）方向表征（见图6.29）。这些方向由可能对此系统进行的测量所表征：如果我们在它 
们中的任一个方向测量自旋，则结果一定不会全在相反方向上，也就是给出值n，n-2，n 
-4，…2-n，但不会有-n。）在譬如上述电子的n=1的特殊情形下，这就是在上面描述中 
标以q的黎曼球面上的一点。但是对于大数值的自旋，正如我刚才描述的，图像变得更为 
精巧--虽然，由于某种原因，物理学家对此并不特别熟悉。 
  
　　在这些描述中有些相当令人吃惊和困惑的东西。人们经常相信，当系统变得更大更 
复杂时，在某种适当的极限的意义上，原子（或基本粒子或分子）的量子描述就会过渡 
到经典的牛顿描述。然而，在实际情况中，这肯定是不对的。正如我们已经看到的，具 
有大角动量的客体的自旋态对应于大量的杂乱地撒开在黎曼球面上的点①。我们可以把 
物体的自旋认为是由一大堆大小为一半的，方向由这些点决定的自旋所组成。这些结合 
态中只有很少情形，其大部分点集中在球面上的一个小区域中（亦即大部分半自旋近似 
地指向同一个方向）--这些才对应于人们通常在譬如板球等等经典物体处遇到的角动量 
的实际的态。我们也许会预料 
  
  
  
　　是处于“紊乱”的自旋态，那么某种类似于经典自旋的东西就会开始出现。但是情 
况根本不是这样，一般地讲，具有大的总自旋的量子自旋态和经典态毫不相像！ 
  
　 
  
　 
  
　　那么经典物理中的角动量的对应物是如何构成的呢？大多数大自旋量子态实际上不 
和经典的东西相类似，它们是每一个都类似于经典的（正交的）态的线性叠加。对此系 
统进行“测量”时，其状态（以某种概率）“跃迁”到这一个或那一个类经典的态上去