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    　　　　６　什么是虚数？

    　　大多数人最为熟悉的数有两种，即正数（＋５，
    ＋１７．５）和负数（－５，－１７．５）。负数是在中世
    纪出现的，它用来处理３－５这类问题。从古代人看来，要
    从三个苹果中减去五个苹果似乎是不可能的。但是，中世纪
    的商人却已经清楚地认识到欠款的概念。“请你给我五个苹
    果，可是我只有三个苹果的钱，这样我还欠你两个苹果的钱。”
    这就等于说：（＋３）－（＋５）＝（－２）。
    　　正数及负数可以根据某些严格的规则彼此相乘。正数乘
    正数，其乘积为正。正数乘负数，其乘积为负。最重要的是，
    负数乘负数，其乘积为正。
    　　因此，（＋１）×（＋１）＝（＋１）；
    （＋１）×（－１）＝（－１）；
    （－１）×（－１）＝（＋１）。
    　　现在假定我们自问：什么数自乘将会得出＋１？或者用
    数学语言来说，＋１的平方根是多少？
    　　这一问题有两个答案。一个答案是＋１，因为（＋１）
    ×（＋１）＝（＋１）；另一个答案则是－１，因为（－１）
    ×（－１）＝（＋１）。数学家是用√￣（＋１）＝±１来
    表示这一答案的。（碧声注：（＋１）在根号下）
    　　现在让我们进一步提出这样一个问题：－１的平方根是
    多少？
    　　对于这个问题，我们感到有点为难。答案不是＋１，因
    为＋１的自乘是＋１；答案也不是－１，因为－１的自乘同
    样是＋１。当然，（＋１）×（－１）＝（－１），但这是
    两个不同的数的相乘，而不是一个数的自乘。
    　　这样，我们可以创造出一个数，并给它一个专门的符号，
    譬如说＃１，而且给它以如下的定义：＃１是自乘时会得出
    －１的数，即（＃１）×（＃１）＝（－１）。当这种想法
    刚提出来时，数学家都把这种数称为“虚数”，这只是因为
    这种数在他们所习惯的数系中并不存在。实际上，这种数一
    点也不比普通的“实数”更为虚幻。这种所谓“虚数”具有
    一些严格限定的属性，而且和一般实数一样，也很容易处理。
    　　但是，正因为数学家感到这种数多少有点虚幻，所以给
    这种数一个专门的符号“ｉ”(imaginary)。我们可以把正
    虚数写为（＋ｉ），把负虚数写为（－ｉ），而把＋１看作
    是一个正实数，把（－１）看作是一个负实数。因此我们可
    以说√￣（－１）＝±ｉ。
    　　实数系统可以完全和虚数系统对应。正如有＋５，
    －１７．３２，＋３／１０等实数一样，我们也可以有
    ＋５ｉ，－１７．３２ｉ，＋３ｉ／１０等虚数。
    　　我们甚至还可以在作图时把虚数系统画出来。
    　　假如你用一条以０点作为中点的直线来表示一个正实数
    系统，那么，位于０点某一侧的是正实数，位于０点另一侧
    的就是负实数。
    　　这样，当你通过０点再作一条与该直线直角相交的直线
    时，你便可以沿第二条直线把虚数系统表示出来。第二条直
    线上０点的一侧的数是正虚数，０点另一侧的数是负虚数。
    这样一来，同时使用这两种数系，就可以在这个平面上把所
    有的数都表示出来。例如（＋２）＋（＋３ｉ）或
    （＋３）＋（－２ｉ）。这些数就是“复数”。
    　　数学家和物理学家发现，把一个平面上的所有各点同数
    字系统彼此联系起来是非常有用的。如果没有所谓虚数，他
    们就无法做到这一点了。

    阿西莫夫《你知道吗？--现代科学中的一百个问题》
    科学普及出版社   1984年

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