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从图4—19可以看出

(4.75)

由于

故而

(4.76)

对于y₁，根据ULR特性，在输入x<C-L时，输出为0。

对于y₂，根据ULR特性，在输入x<C时，输出为0。

如果用y1—y2为输入，则有：

①x＜C-L时，输出为0

②x＜C时．输出为y1

③x＜C+R时，输出为y₁-y₂

④x≥C+R时，有y₁-y₂＜0，故输出为0。

很明显：可以得到(C-L)，C'，，(C+R)三点组成的三角形，对于上图4-18，如果令

则有

利用y1，y2可以实现三角隶属函数功能，只要修改参数R、L、C，则可以实现不同的三角隶属函数。
(3)第3层
这是前件运算层，执行最小运算Λ．这一层采用二层ULR神经网络形成。如图4-20所示。

图4-20 前件最小化运算

从图4-20中，可知其功能为：

f₁=f(U_r1-U_r2-0)=f(U_r1-U_r2)

f₂=f(U_r1-0)=f(U_r1)

Z_r=f(-f₁+f₂-0)=f(-f₁+f₂)

下面分别分析三种不同的输人情况：

①当有U_r1<U_r2时

f₁=f(U_r1-U_r2)=0

f₂=f(U_r1)=U_r1

从而有

 Z_r=f(-f₁+f₂)
    =f(0+U_r1)
    =U_r1

②当有U_r1>U_r2时

f₁=f(U_r1-U_r2)=U_r1-U_r2

f₂=f(U_r1)U_r1

则

 Z_r=f(-f₁+f₂)
    =f(-U_r1+U_r2+U_r1)
    =U_r2

当有Ur1=Ur2时

f₁=f(U_r1-U_r2)=0

f₂=f(U_r1)=U_r1

则

Z_r=f(-f₁+f₂)=f(U_r1)=U_r1

从上可知：图4—20的URL网络实现了最小化运算。

(4)第4层

这是后件运算层，它执行两种操作。一种是把前件最小化运算结果再对后件模糊量求最小运算；另一种操作是执行反模糊化。这两种操作那是由局部最大平均法LMOM(Local Mean-of-Maximum)反模糊化方法实现的。

LMOM方法可以用图4—21进行说明。

图4-21 LMOM法反模糊化

在图4—21中，a是三角形(C-L)，A，(C+R)的底边的中点，故a的坐标为

当隶属度为1时，反模糊化的结果为C。
当隶属度为0时，反模糊化的结果为。

当隶属度为Z_r时，则有

即

反模糊化的结果为：(C-m)

      (4.77)

设后件三角隶属函数为r，前件最小化结果为Z_r，则反模糊化结果用U_r^-1(Z_r)表示，有

     (4.78)

反模物化可采用下面图4—22的结构。

图4-22 反模糊化接点

在图中取

显然有

由于

故而

     (4.79)

(5)第5层

最后输出判决层。输出采用规则前件的最小隶属度为加权系数，对本规则的后件反模糊化结果进行加权，取加权平均值为最后判决结果F。

        (4.80)

3．ULR模糊控制器学

ULR模糊控制器中，需要学习要是含有隶属函数的第2，4两层。

在学习时，目标函数用Q表示，而隶属函数的参数用P表示，学习的目的就是使目标函数Q达到最小。一般目标函数Q用输出的期望与实际误差来描述。

用梯度法对URL网络的第2，4层进行学习．就是按-^aQ／^aP方向修改参数P，即

	(4.81)
由于Q有时较为复杂，在修改时要首先考虑aQ／aP，也可写作
	(4.82)
在上式中．aQ／aF为了方便起见可以用下式求取
	(4.83)

显然，这是可以直接求得的。

下面分别对第2，4层中隶属函数的学习进行说明

对于第4层的隶属函数学习，其算法如下：

由于第5层输出为F，并且

而第4层输出为U^r-1(Z_r)，并且

则有

    (4.84)

                  (4.85)

        (4.86)

         (4.87)

其中：Sj是第j条规则的语言变量，r是语言变量值。

显然．采用式(4．84)—(4．87)，可求^aF／^aP。

对于第2层而言，如果要求^aF／^aP，则应考虑：

       (4.88)

其中：U_ri是第2层的输出

由于

      (4.89)

其中：Ak是第k条规则的前件语言变量

其中：U_r^-1(Z_r)是U_r^-1(Z_r)的导数。

同时，根据式(4．75)、(4．76)则^aU_ri／^aP很容易求取。

这样则对于第2层；^aF／^aP可以求出。

在式(4．82)中，由于^aQ／^aF，^aF／^aP都在第2，4层可以求出，故而能对这两层的隶属函数进行学习。一般^aQ／^aF不取实际值．只取其符号，即有：

最后有：

4．ULR模糊控制器对倒立摆的控制

对倒立摆的控制采用下列9条由条件语句组成的控制规则实现．如表4—2所示。

角度θ是倒立摆和平衡位置的夹角，它的范围取-12°—+12°。角度变化率Δθ的范围取每秒-12°，即-12°／S，到每秒+12°，即+12°／S。

倒立摆安装在一个小车上，为了使倒立摆能处于平衡状态，故而要对小车进行控制。

角度θ，角度变化率Δθ以及控制的模糊量都是取三角隶属函数，它们的参数分别如表4—3中所示。

表4-1 隶属函数

模糊控制器的输入有角度和角度变化率，它们都归一化到[-1，1]区间。实际控制的结果如图4—23中所示。从图中可知，在执行了大约500步左右工作，则可以达到平衡状态，图中给出的是初始角度不同时的工作过程状态。

(a)	(b)
图4-23 倒立摆平衡仿真结果
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